Διαλέξεις Μαθηματικών της Οικονομικής Επιστήμης

Οι διαλέξεις αυτές περιέχουν μεγάλο μέρος της ύλης που διδάσκεται στα πλαίσια του μαθήματος Μαθηματικά ΙΙ στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Η έμφασή τους είναι στη θεωρία του μαθηματικού προγραμματισμού και τις εφαρμογές του στην οικονομική επιστήμη. Η θεωρία του μαθηματικού προγραμματισμού με ανισοτικούς περιορισμούς αναλύεται λεπτομερειακά με τη χρήση πολλών παραδειγμάτων και την εφαρμογή του στη θεωρία του καταναλωτή και τη θεωρία της επιχείρησης. Έμφαση δίνεται επίσης στα δυναμικά υποδείγματα (εξίδωσεις διαφορών και διαφορικές εξισώσεις) και την εφαρμογή τους στο νεοκλασσικό υπόδειγμα οικονομικής ανάπτυξης και τη διαμόρφωση των δυναμικών προβλημάτων αριστοποίησης των σύγχρονων οικονομικών.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους φοιτητές του τμήματος που με τις ερωτήσεις και τις υποδείξεις τους, διαμόρφωσαν την ύλη αυτών των διαλέξεων στη μορφή που παρουσιάζεται εδώ και τους κκ. Απόστολο Κασάπη και Λουκά Θεοχάρη για τη βοήθεια τους στη συγγραφή τους καθώς επίσης και τις χρήσιμες παρατηρήσεις τους.

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 1  Εισαγωγικά

Παράγωγοι

Η σημασία της εφαπτόμενης ευθείας

Αναπτύγματα MacLaurin και Taylor

Η λογική του αναπτύγματος του Taylor

Ακολουθίες

Γενίκευση σε συναρτήσεις

Θεώρημα της Μέσης Τιμής

Βελτιστοποίηση Συνάρτησης Μιας Μεταβλητής

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Μετρικοί χώροι

Τοπολογικοί χώροι

Μιγαδικοί αριθμοί

Ο τύπος του de Moivre

Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους

Ομογενή συστήματα

Παράγωγοι συναρτήσεων με δυο μεταβλητές

Θετικά ορισμένος πίνακας

Αρνητικά ορισμένος πίνακας

Μη-ορισμένοι πίνακες

Γραμμική και Τετραγωνική μορφή

Ομογενείς συναρτήσεις

Θεώρημα του Euler για ομογενείς συναρτήσεις

Εφαρμογή στη μεγιστοποίηση του κέρδους

Ολοκληρώματα

Παράγουσα συνάρτηση

Ανατοκισμός

Το δημόσιο χρέος και το εθνικό εισόδημα

Το υπόδειγμα Harrod-Domar

Το Νεοκλασσικό Υπόδειγμα Οικονομικής Μεγέθυνσης

Ολοκληρώματα πιθανότητας

Κατανομή του Pareto

Ελαστικότητα Υποκατάστασης

Αριστοποίηση όταν υπάρχουν παράμετροι (το θεώρημα της περιβάλλουσας)

Αναμενόμενη χρησιμότητα

Κεφάλαιο 2  Γραμμική Άλγεβρα

Διανύσματα

Η Έννοια του Διανύσματος

Πράξεις Διανυσμάτων

Δυγγραμμικά Διανύσματα

Μέτρο Διανύσματος

Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

Πίνακες

Έννοια και Είδη Πινάκων

Πράξεις με Πίνακες

Ίχνος Πίνακα

Πολυώνυμα Πίνακα

Αντίστροφοι Πίνακες

Ορίζουσες

Ορισμός Ορίζουσας

Ιδιότητες Οριζουσών

Βαθμός Πίνακα

Γραμμικά Συστήματα

Ομογενή Γραμμικά Συστήματα

Χαρακτηριστικά Μεγέθη Πίνακα

Διαγωνοποίηση Πίνακα

Διαφορικός Λογισμός Πινάκων

Τετραγωνικές Μορφές

Διαφόριση και Ολοκλήρωση Πίνακα

Κεφάλαιο 3  Βελτιστοποίηση

Βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς

Βελτιστοποίηση με περιορισμούς

Ισοτικοί Περιορισμοί

Ανισοτικοί Περιορισμοί

Μια ερμηνεία των συνθηκών Kuhn-Tucker

Παραδείγματα Γραμμικού Προγραμματισμού

Διαγραμματική λύση προβλημάτων

Γενική περίπτωση με τη μορφή μητρών

Λήμμα του Farkas Ι

Κυρτά Σύνολα

Υπερεπίπεδα

Διαχωρισμός

Κλειστά Σύνολα

Το Θεώρημα του Διαχωρισμόυ

Κώνοι

Λήμμα του Farkas ΙΙ

Κοίλες Συναρτήσεις

Θεώρημα (WEIERTRASS)

Θεώρημα Μοναδικότητας

Ορισμένες προσεγγίσεις στη μαθηματική βελτιστοποίηση

Πρόσθετα Παραδείγματα Προγραμματισμού

Τιμολόγηση περιόδου αιχμής

Δανεισμός

Κοινωνική ασφάλιση

Κεφάλαιο 4

Συγκριτική Στατική Ανάλυση

Θεωρία της Επιχείρησης

Δυϊκότητα Στην Οικονομική Ανάλυση

Η συνάρτηση κόστους

Η συνάρτηση κέρδους Ι

Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας

Η συνάρτηση κόστους του καταναλωτή

Συνάρτηση Κέρδους ΙΙ

Τα μερίδια των εισροών στο κόστος

Κεφάλαιο 5

Γραμμικός Προγραμματισμός στην Ανάλυση Παραγωγής

Δυϊκότητα στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Γραμμικός Προγραμματισμός και Ανάλυση Εισροών – Εκροών

Γενική Ισορροπία της Οικονομίας

Ανάλυση Εισροών-Εκροών

Το μέγιστο ποσοστό κέρδους

Μηδενικό ποσοστό κέρδους

Γενική περίπτωση

Μη αρνητικές τετραγωνικές μήτρες

Το υπόδειγμα του von Neumann (1936)

Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού

στη Θεωρία Αποφάσεων

Κριτήριο Minimax

Αναμενόμενη απόδοση

Κανόνας του Laplace

Βέλτιστα Χαρτοφυλάκια: Γραμμικός Προγραμματισμός

Το πρόβλημα κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας

Βέλτιστα Χαρτοφυλάκια:

Μη-Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 6

Δυναμικά Υποδείγματα: Εξισώσεις Διαφορών και Διαφορικές Εξισώσεις

Εξισώσεις Διαφορών

Μιγαδικοί αριθμοί

Το θεώρημα του de Moivre

Ιδιότητες του Eüler

Το Υπόδειγμα του Samuelson (1939)

Διαφορικές Εξισώσεις

Διαχωριζόμενες Διαφορικές Εξισώσεις

Γενικές μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις

To νεοκλασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης

Διαγράμματα φάσης

Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης

Ιδιόμορφη συμπεριφορά ορισμένων εξισώσεων

Ευστάθεια των λύσεων διαφορικών εξισώσεων

Οι εξισώσεις Lotka-Voltera

Σχέση Διαφορικών Εξισώσεων και Εξισώσεων Διαφορών

Ποιοτική ανάλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων

Η δυναμική των συναλλαγματικών ισοτιμιών

Ολική ευστάθεια

Το Δημόσιο Χρέος

Μείωση του Δημόσιου Χρέους

Πρόσθετες Παρατηρήσεις

Ένα πρόβλημα σχεδιασμού

Κεφάλαιο 7

Δυναμική Βελτιστοποίηση

Προβλήματα Βελτίστου Ελέγχου

Δικαιολόγηση των αναγκαίων συνθηκών Βελτίστου Ελέγχου

Συνθήκη Διατέμνουσας με άπειρο χρονικό ορίζοντα

Νεοκλασσική οικονομική ανάπτυξη

Νεοκλασσική οικονομική ανάπτυξη: Διακριτός χρόνος

Ένα πιο γενικό πρόβλημα

Η εναλλακτική μορφή της Χαμιλτονιανής

Γραμμικά Συστήματα με Τετραγωνικό Κόστος

Συνεχής χρόνος

Διακριτός χρόνος

Δυναμικός Προγραμματισμός

H λογική του Δυναμικού Προγραμματισμού

Στοχαστικός Δυναμικός Προγραμματισμός

Στοχαστική Νεοκλασσική Ανάπτυξη

Στοχαστικός Βέλτιστος Έλεγχος σε προβλήματα LQ

Κεφάλαιο 8

Εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων

Η λύση minimax

Μικτές ή πιθανοκρατικές στρατηγικές

Υποδεέστερες στρατηγικές

Διαγραμματική λύση Παιγνίων

Γενικά Παίγνια

Ισορροπία του Nash

Γενική Περίπτωση

Ορισμός της ισορροπίας κατά Nash